SNSにて親切な方から更に情報提供いただき、無事解決しました。
原因は、公式プラグイン「PluginCommonBase」をsteamMac版ツクールを購入した当時のまま古いバージョン（1.0.3）を使用していたことにありました。2024年5月時点での最新バージョン（1.0.5）に更新したところ、無事表示されるようになりました。
※5/10 原因が分かりましたので、質問を【解決】に変更しました。
SNSにて親切な方からご教授いただけたおかげで、早速原因が分かりました。
PLiCy様でブラウザ公開して、この現象に悩まれる方もいらっしゃるかもしれないので、結果をご報告いたします。
※私自身はプログラムとか全然分からないため、ほぼご教授いただいたママの文章です。すみません。
PluginManagerEx.findClassName(this)で本来'Scene_Map'という文字が返されるべきなのに、'Scene_Map(){this.initialize'という文字が返され、ゲージが存在しない扱いになってしまうのが原因のようです。
私がブラウザ版をテストしていたPLiCy様では、クラウドフレアのJavascriptの軽量化処理が挟まり、2回目以降は軽量化データに書き換わるそうです。しかし、PluginCommonBase.jsのfindClassName関数のバグで、軽量化後の値が'Scene_Map(){this.initialize'となるようです。
安定して表示させるには、findClassNameを直すプラグインを作るといった大掛かりな対応が必要のようでしたので、使用を諦めるか、もしくはゲージが表示されない人用に代替表示を用意するかして、表示されなくてもゲームが遊べるように工夫しようと思います。
★★★★★質問内容はここから★★★★★
（※5/9 検証内容を更新しました。）
トリアコンタン様のプラグイン「「ExtraGauge.js」（汎用ゲージ追加プラグイン）」がブラウザで表示されない問題について自力で解決できないため、こちらでご質問させていただきます。
※プラグイン制作者様からは、他サイトでの現象であること及び検証環境がないことから調査対応できかねる旨、ご回答いただいています。
【問題】
Web用にデプロイメント後、PLiCyで公開すると、ゲージが表示されないブラウザがある。
（デプロイメントは未使用ファイルを除外するにチェック、暗号化は未設定）
【PLiCy公開URL（※テスト用なので5/11には削除します）】
※原因が判明したので5/10に削除しました。
【解決したいこと】
ブラウザ（FireFox、GoogleChrome、Safari）とスマートフォン（Android、iOS）で、マップ上のゲージ表示を安定させたい。
【検証した状況】
・iMacしか持ってないので、デプロイメントは全てiMacで行っている。
・ツクール上のテストプレイでは問題なく表示される。
・デプロイメントしたMac用データをiMac上でプレイしても問題なく表示される。
・ゲーム公開サイトPLiCyを使用してブラウザ用データを公開アップロードすると表示が不安定になる。
（汎用ゲージ追加プラグイン：トリアコンタン様作）
https://plugin-mz.fungamemake.com/archives/971
【現象の補足】
iMacデスクトップPCのFireFox、GoogleChrome、Safari／スマホAndroidのGoogleChromeでテストしたところ、端末によってゲージが表示されたりされなかったりする。
※友人に一度iPhoneのSafariを試してもらったが、やはり表示されなかった。
【試したゲージ設定】
表示される時とされない時の規則性が全く分からないこと、また私自身プラグインのことが全然分からないため、解決策が分かる方、いらっしゃいましたらご教授いただけますと助かります。
